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Le nombre d'or des mathématiciens
On le désigne par la lettre
grecque φ (phi) en hommage au sculpteur grec Phidias (vers 490-430 av J.-C.) qui décora le Parthénon à
Athènes.
C'est Théodore Cook qui introduisit cette notation en 1914, mais surtout c'est Euclide (vers 325-265 av J.-C.) qui apporta une première définition mathématique dans son ouvrage "Eléments"
:
Euclide d'Alexandrie (325-265 av. J.-C.)
fut le plus grand professeur de mathématiques de tous les temps. Son livre Eléments est toujours utilisé pour enseigner la géométrie. Il vécut en Egypte à l'époque de
Platon et on sait qu'il respectait sa philosophie. Il termina ses éléments par l'étude des polyèdres réguliers. Toutes ses analyses intègrent très naturellement le nombre
d'or.
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Toutefois on ne peut renier un fait étonnant et
incontestable. Le nombre d'or apparaît dans l'Ancien Testament et pas n'importe où puisqu'il sert de mesure à la construction de l'Arche
d'Alliance. On peut en effet lire dans l'Exode (XXV,10) un ordre que donne Dieu à Moïse pour construire l'Arche :
Le premier problème est bien sûr de connaître la valeur d'une coudée. La
coudée eut plusieurs mesures au cours de l'Histoire. Cette unité très ancienne a comme base la longueur allant du coude jusqu'à l'extrémité de
la main. C'est la coudée naturelle et elle correspond à 45 cm environ. Mais il existe une autre coudée encore plus ancienne, la coudée royale
utilisée par les architectes de l'ancienne Egypte. Cette mesure plus grande était appréciée car mieux adaptée à la trigonométrie. 1 coudée royale = 52,36
cm
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La suite de Fibonacci
La suite de
Fibonacci (nom donné par l'arithméticien français
Edouard Lucas en 1817) est constituée d'une série de nombres calculés de
la façon suivante :
Un nombre de la suite s'obtient en ajoutant les
deux nombres précédents :
Si on note
Fn le nème nombre
de Fibonacci, Fn = Fn-1 +
Fn-2
Les premiers nombres de la suite sont donc
:
Or on démontre que si on fait le rapport de 2 nombres
consécutifs Fn /
Fn-1 le résultat tend vers le nombre d'Or = 1,618033... lorsque n tend vers
l'infini.
Exemples : 1/1 = 1 ; 2/1 = 2 ;
21 / 13 = 1,615 ; 987 / 610 = 1,618032 ...
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La double hélice
d'ADN programme
toute vie. Or la
double spirale
respecte la
divine proportion
et une coupe
transversale (vue
de dessus) forme
un décagone
régulier, c'est à
dire deux
pentagones
décalés de
36°.
La molécule
d'ADN est
longue de
34
angströms
et large de
21,
deux nombres
consécutifs de
Fibonacci
(34/21 =
1,619)
Le nombre d'or
est une
constante qui
trouve refuge
même dans les
fondements de
la
vie.
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l'ADN est
dorée
Depuis la
renaissance,
l'homme a fait
des progrès
inouïs dans la
connaissance de
notre monde. Plus
la technique
avance et plus
nous découvrons
que l'univers et
la vie restent un
grand mystère. Un
autre exemple est
celui de l'ADN et
de sa spirale
qui, elle aussi,
respecte
le nombre
d'or.
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Le
pentagone régulier
est une figure
dorée car la
proportion entre
une longueur du
pentacle et un côté
du pentagone est le
nombre d'or
:
Les
triangles
ABC
et
ACD
sont tous deux
isocèles et les
longueurs de leurs
côtés sont dans le
rapport du nombre
d'or. Ce sont deux
triangles
sacrés.
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Dans
l'homme de
Vitruve
d'après
Léonard de
Vinci, le
centre du pentacle
est situé sur le
nombril et non sur le
pubis
(dans la
gravure
de
Harmonia Mundi)
ce
qui correspond à une
réalité
anatomique.
"Le centre du corps
humain est en outre
par nature le
nombril; de fait, si
l’on couche un homme
sur le dos, mains et
jambes écartées, et
qu’on pointe un
compas sur son
nombril, on touchera
tangentiellement, en
décrivant un cercle,
l’extrémité des
doigts de ses deux
mains et de ses
orteils. Mais ce
n’est pas tout: de
même que la figure de
la circonférence se
réalise dans le
corps, de même on y
découvrira le schéma
du carré. Si en effet
mesure est prise d’un
homme depuis la
plante des pieds
jusqu’au sommet de la
tête et qu’on reporte
cette mesure sur la
ligne définie par ses
mains tendues, la
largeur se trouvera
être égale à la
hauteur, comme sur
les aires carrées à
l’équerre". (Vitruve,
De Architectura, III,
1, 3)
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L'homme
de Vitruve dans son
pentacle
Léonard de
Vinci
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L'homme n'échappe pas
aux
lois...
Depuis
l'antiquité l'homme a
utilisé son corps pour
établir des mesures
communes, or nous avons
vu qu'elles sont
étrangement associées
au
nombre
d'or.
Ce
n'est pas un hasard,
car il se trouve que le
corps humain respecte
les lois dorées. Il
faudra attendre
Léonard de
Vinci pour le
démontrer de façon
anatomique. En effet
l'emplacement du
nombril est en parfaite
harmonie, au centre
d'un
pentacle.
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Un
cyclone de Fibonacci
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Galaxie
spirale dans la
constellation
des Chiens de
Chasse
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La
spirale de Fibonacci
est partout comme si la
nature et le monde physique
qui nous entourent trouvaient
leur équilibre dans cette
formation
dorée.
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Le nautile, une des plus
belles spirales d'or
naturelles de
Fibonacci
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Nid de guêpes en
hexagones
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Dans le règne
animal
Le monde animal regorge aussi
d'exemples où la loi dorée
s'applique, immuable. Nous
trouvons par exemple la divine
proportion entre la
population
des ouvrières d’une ruche et
celle des faux-bourdons. Nous
avons aussi ce mystère de la
nature qui commande aux
abeilles et aux guêpes de
construire des nids en forme
d'hexagones réguliers.
Le Nautile,
mollusque vieux de plus de 400
millions d'années utilise la
spirale d'or pour construire sa
coquille.
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Le quartz, une forme cristalline
dorée
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Cristal de neige et l'hexagone
inévitable
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Dans le règne
minéral
La proportion divine
est très facilement visible sous un
microscope en observant un cristal
de neige. En effet, au
17e siècle,
Johannes Kepler
note que les cristaux de neige sont
arrangés selon des hexagones.
Sachant que l'hexagone est une
figure géométrique dorée, on peut
affirmer que le monde minéral
connait aussi la proportion
harmonieuse. Les cristaux basés sur
des formes élémentaires de type
carré, hexagonal ou pentagonal sont
également soumis ou nombre
d'or.
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La rose connaît la suite de
Fibonacci
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Les graines de tournesol forment des
spirales d'or
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Aussi étonnant que cela
puisse paraître,
le
nombre d'Or
se retrouve sous de nombreuses formes
naturelles. Il est présent dans
l'infiniment petit du vivant comme dans
l'ADN, et dans l'infiniment grand à
propos de la mécanique céleste. A
croire que la nature est rythmée selon
la suite de Fibonacci, comme si elle
cherchait elle-même l'équilibre dans
l'harmonie dorée. Plus étonnant, une
figure dorée revient régulièrement, la
spirale d'or et que les mathématiciens
appellent la spirale logarithmique.
Observez, nous sommes entourés de
spirales, de l'ADN à la disposition des
pétales d'une fleur, d'un vent
tourbillonnant à un cyclone, d'un
coquillage à une galaxie. Tous ces
phénomènes respectent la loi du nombre
d'or et la série de
Fibonacci...
Dans le règne
végétal
Le règne végétal est certainement le
domaine où le plus d'exemples existent.
Les pétales de fleur et leur façon de
s'ordonner dans une spirale harmonieuse
suivent la série de Fibonacci. Ainsi la
rose en fleur dispose ses pétales en
spirale selon un angle de
137,5° entre chaque
pétale. De même, les graines de
tournesol mettent en relief la spirale
dorée... Il y aussi les ananas, les
cactus, les marguerites, les pommes de
pins, etc....
137,5° est appelé l'angle d'or
car
137,5° x (
φ
+1) =
360°
Il existe aussi un grand
nombre de fleurs à 5 pétales et ceux-ci
sont disposés régulièrement au sommet
d'un pentagone. On trouve aussi des
fleurs à 10 pétales par groupe de
2.
5 est un
chiffre sacré et ce n'est pas un
hasard. On le retrouve dans la nature
sous différentes formes en commençant
par les 5 doigts de la
main...
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Le chrono sur
le dessin de gauche ou la bouteille sur le
dessin de droite divisent le cadre de l'image
selon une section dorée. Hergé utilise le
nombre d'or pour créer un équilibre
harmonique dans la scène...
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Le sceptre d'Ottokar
(Hergé)
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Le crabe aux pinces d'or
(Hergé)
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Dans la littérature et la
poésie
Le nombre
d'Or a aussi
été très largement utilisé par de grands
auteurs, par des poètes pour rythmer leurs
vers, et même par des dessinateurs. Mais
surtout, il est fascinant d'observer comment
cette proportion divine est intégrée de façon
invisible et insoupçonnée dans des images et
des documents que tout le monde connaît. Un
parfait exemple se trouve dans les albums
d'Hergé. L'auteur utilisa le
nombre d'or avec une extrême rigueur pour
amener un équilibre dans ses
scènes.
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Très utilisé par les artistes ce compas possède 2
branches fixées entre elles de telle façon que le
rapport entre le petit et le grand écartement est
toujours égal à
φ
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Le compas de
proportion
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Traçons d'abord
le carré délimité par les sommets D
et E. Traçons ensuite sa diagonale
passant par le centre F et le sommet
E. Divisons enfin le carré en 2 par
une perpendiculaire verticale. La base est
posée.
Remarquez maintenant le compas sur le dessin.
Traçons un cercle de centre A (le
point d'articulation du compas) et de rayon l'arc
du compas. Le cercle s'inscrit parfaitement dans la
moitié du carré et il est tangent à la diagonale.
Un cercle identique peut être posé à son côté. Son
centre croise un côté du carré et la
perpendiculaire. Ce cercle passe par la pointe du
compas. L'enluminure a été élaborée selon une
géométrie très précise et rien n'a été dessiné au
hasard. De plus cette astuce permet de confirmer
que la démarche est la bonne.
Continuons en traçant un arc de cercle de centre
H et à partir du sommet du carré
I. L'arc croise la droite
DH en B.
Le rectangle BCED est un rectangle
d'or.
Traçons sa diagonale. Elle passe par l'œil de
l'architecte qui symbolise la mesure de toute chose
("avoir le compas dans l'œil", expression qui est
passée dans le langage courant). Remarquons enfin
que le carré et le grand cercle ont comme centre
F posé sur le cœur de
l'architecte, centre de l'univers terrestre et
spirituel...
Le nombre d'or apparaît aussi dans de
nombreuses proportions comme entre le diamètre de
l'auréole et le diamètre de l'univers. Cette œuvre
est extrêmement complexe et nécessiterait plusieurs
pages pour la décrire complètement.
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Le Grand Architecte créant le Ciel et la Terre
à l’aide du grand compas (Bible de Vienne du
XIIIe
siècle)
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Dans
la peinture
Le nombre d'or a eu une influence certaine sur toutes
les créations artistiques. Les périodes de la
Renaissance française et italienne sont évidemment
connues pour avoir largement usées de cette science .
Mais il faut savoir que la géométrie sacrée a pénétré
avant cela plusieurs siècles d'art pictural et les
exemples foisonnent. La proportion dorée est souvent
perceptible, mais elle est parfois difficile à déceler
pour un non expérimenté. Or ce n'est pas parce qu'on ne
la voit pas qu'elle est absente. Voici un exemple sur
une enluminure du moyen âge du XIIIe
siècle.
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La cathédrale de
Chartres
Quoi de plus démonstratif que d'illustrer
l'art des bâtisseurs de cathédrale par la plus belle de
toutes, la cathédrale de Chartres. Elle
fut édifiée entre 1194 et 1260. Entourée
de mystères, elle est aussi une parfaite démonstration de
la divine proportion qui imprègne toute son architecture.
Tout y est doré et l'aménagement intérieur respecte une
étoile à 5 branches.
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Le Parthénon, un autre exemple
d'application du nombre d'or
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Le Parthénon
d'Athènes
Il fut
bâti par Périclès en l’honneur de la déesse Athéna, protectrice
de la cité d’Athènes. Le Parthénon fait apparaître un peu
partout le nombre d'or. Par exemple sa façade avec le fronton
s'inscrivent dans un rectangle doré : AD / AB =
φ
Le fronton est aussi un autre triangle sacré,
etc...
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La pyramide du
Musée du Louvre à Paris est plus petite que
celle de Chéops mais les proportions sont identiques. Elle fut
réalisée par l'architecte I.M. Pei et elle fait
partie des grands projets de F. Mitterrand. Posée
tout près du
méridien de Paris, elle est tout un symbole que Dan Brown ne
manqua pas de souligner dans son Da Vinci Code...
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Etudier la Grande Pyramide de Chéops
c'est aussi découvrir les dimensions du Soleil, de la Terre, de la
Lune, des planètes et du cycle
d’Orion. Car les anciens égyptiens étaient
des astronomes remarquables. On peut d'ailleurs lire dans le monument
des écritures hiéroglyphes qui indiquent, selon le calendrier basé sur
le départ du cycle d’Orion, il y a plus de 12 000 ans, la date
d'édification de la pyramide. La construction dura 200 ans et non 20
ans selon Hérodote.
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La pyramide de Chéops à Gizeh est un hymne au nombre
d'or et une démonstration
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La pyramide de Chéops mesurait à l'origine
:
- hauteur OS = 147,5
m (283 coudées royales)
- côté de la base AB =
232 m (446 coudées royales)
- Angle d'inclinaison des côtés : 51° 51
minutes
Vérifions la présence du nombre d'or :
BC = AB / 2
et SC = Ö(OS2 + OC2)
= Ö(147,52 + 1162) =
187,6493 m
Or si le rectangle formé
par les 2 côtés BC et SC est d'or alors le rapport
SC / BC = φ d'où SC / BC = 187,6493 / 116
= 1,618 =~ φ
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La pyramide de
Chéops
Dans la grande pyramide
de Chéops, l'aire du carré construit sur la hauteur est égale à
l’aire d’une des faces triangulaires isocèles.
La demi-face SBC de
la pyramide est la moitié d'un rectangle d'or de longueur
SC et de largeur BC. Les faces latérales
sont donc formées de deux demi rectangles d'or.
Chaque face forme
un triangle sacré dit de Chéops comme le triangle
ABS.
Le triangle OCS est
un triangle d'or
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Dans
l'architecture
L'architecture est un
domaine particulièrement prolifique pour l'épanouissement du
nombre
d'Or.
L'objectif est souvent double : conférer à l'édifice une harmonie dans les
volumes et l'esthétique, et associer au monument un langage sacré réservé aux
initiés. Dans le cas des monuments de culte, la dimension spirituelle est
évidente. Les lois du nombre d'Or permettent non seulement d'être en parfaite
harmonie avec le monde terrestre, mais aussi de converser avec le divin. La
proportion divine est aujourd'hui seulement utilisées pour satisfaire nos
besoins de design, mais dans l'antiquité les objectifs étaient entièrement
différents.
Les exemples les plus
révélateurs dans l'architecture ancienne sont la pyramide de
Khéops, le Temple de Salomon, le
Parthénon à Athènes, les églises romanes et
gothiques...
Il faut
noter que l'ancienne civilisation égyptienne est la seule connue aujourd'hui
pour avoir atteint le plus haut niveau de maîtrise dans l'art de la géométrie
sacrée et de la divine proportion. On peut lire de temps à autre certains
scientifiques prétendant qu'il n'existe aucune preuve de la connaissance du
nombre d'Or chez les anciens égyptiens et notamment dans la pyramide de
Chéops. Affirmer ceci c'est méconnaitre totalement la géométrie dorée et
l'architecture du temple d'Horus à Edfou, de Louxor et tous les arts
décoratifs et symboliques égyptiens comme Isis, Horus, Khépri,
etc...
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indice n
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1
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3
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4
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5
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7
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8
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9
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10
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11
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12
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13
|
14
|
15
|
16
|
...
|
|
Fn
|
1
|
1
|
2
|
3
|
5
|
8
|
13
|
21
|
34
|
55
|
89
|
144
|
233
|
377
|
610
|
987
|
...
|
|
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|
La
section AGF est dorée en G et le rectangle
GFIH est un rectangle d'or
AG / GF = AF / AG =
φ
si AG =
1 alors GF = 1/φ
et FB = 1/φ2
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Le rectangle d'or à partir du double
carré de Barlong
Le
double carré de Barlong cache aussi le rectangle d'or. Pour le découvrir
:
1)
Dessiner 2 carrés côte à côte. Ils forment alors un rectangle
ABCD
2)
Déterminer le milieu O en traçant la diagonale
AC
3)
tracer un cercle de centre O et de rayon OH. Le cercle croise
alors la diagonale AC en E
4)
Tracer un arc de cercle de centre A et passant par E. l'arc
croise la droite AB en F
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Le rectangle d'or à partir du triangle des
bâtisseurs 12
On
peut déduire le rectangle d'or du triangle
des bâtisseurs 12 très simplement. Pour cela :
1)
Dessiner un triangle 12
2)
Tracer un arc de cercle de centre B et passant par C. L'arc
coupe la droite AB en D
Le
rectangle obtenu ADEF est un rectangle d'or car AD / AC
= φ = (1+ √5) /
2
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Le rectangle d'or à partir du triangle
d'ISIS 345
On peut
aussi déduire le rectangle d'or du triangle d'ISIS
345. Pour cela :
1)
Dessiner un triangle sacré 345
2)
Tracer un arc de cercle de centre A et passant par C. L'arc coupe
la droite AB en O
3)
Tracer un arc de cercle de centre O et passant par le même sommet
C. Cet arc coupe la droite AB en
E.
Le
rectangle obtenu BEFC est un rectangle d'or car BE / BC
= φ
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Voici donc comment la spirale d'or est construite.
Chaque
rectangle d'or est issu du précédent en enlevant un carré. Les arcs de cercle de chaque carré forment
alors une belle spirale que Fibonacci mettra en évidence à l'aide de sa suite de nombres.
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Le nombre d'Or
a ceci de fascinant qu'il possède en lui une forme
récurrente et communicative, comme si un objet géométrique possédant la propriété dorée générait lui-même
des formes dorées. Une propriété esthétique contagieuse en quelque sorte...
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Récursivité du rectangle d'or
Une autre propriété du rectangle d'or, très démonstrative est celle-ci
:
A partir d'un premier rectangle d'or ABCD, si on lui
retire son carré AEFD, il reste un second rectangle d'or EBCF. Puis en
retirant un carré à ce dernier, un nouveau rectangle d'or apparaît et ainsi de suite jusqu'à
l'infini...
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En effet,
ABE est une section dorée en B. La conséquence directe est que le grand côté
du grand rectangle est égal à φ. Le rectangle d'or est donc caractérisé par la propriété suivante :
Grand côté / Petit côté = φ
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Le rectangle d'or
Voici ce fameux
rectangle qui rendit populaire le nombre d'Or. Il se déduit de la construction précédente. Pour le construire il
suffit de :
1) Dessiner un carré
de côté 1
2) Repérer le milieu
O d'un côté
3) Tracer un arc de
cercle de centre O et passant par le sommet C. Cet arc coupe la droite
AB en E.
Le rectangle obtenu
AEFD est un rectangle d'or. Notons aussi que le petit rectangle
BEFC est aussi doré.
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La section dorée à partir de 2
perpendiculaires
On peut également
construire une section dorée à partir de 2 droites. Pour cela :
1) Tracer 2 droites
perpendiculaires qui se croisent en B
2) Repérer sur l'une des
droites deux points A et O milieu de AB
3) Tracer un cercle de
centre B et passant par O. Ce cercle coupe les droites en
ODCF.
4) Tracer un arc de
cercle de centre A et passant par C
On obtient alors les
rapports dorés suivants :
ED / AB
= ED
/ FD = φ
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On devine ici
ce qui fascina en premier les philosophes et les géomètres. Voici un nombre insaisissable (irrationnel) qui se déduit
très simplement à partir du cercle. Rappelons que dans la symbolique sacrée, le cercle est le monde spirituel et son
centre est Dieu. φ (Phi) nombre de l'harmonie, serait alors en étroite relation avec ¶
(Pi) irrationnel représentant le cercle.
φ et ¶ seraient alors les 2 nombres
irrationnels permettant de décrire toute la géométrie divine...
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La
section dorée à partir du carré
Moins connue elle est
pourtant très simple. Elle est aussi à la base de nombreuses constructions en architecture :
1) Dessiner un carré de côté
1 et repérer le point O milieu d'un côté
2) Tracer un demi-cercle de
centre O et passant par les coins du carré en C et D. Le demi-cercle coupe la droite
EF en A et B
La section EFB est
dorée en F.
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Construire une section dorée
Cette méthode qui a disparu
aujourd'hui des manuels scolaires reste la plus simple :
1) Construire un triangle
rectangle en B tel que OB = AB / 2
2) Tracer un cercle de centre
O et passant par B. Le cercle coupe AO en
E.
3) Tracer un arc de cercle de
centre A et passant par E. L'arc coupe AB en
C.
La section ACB est dorée en C
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Nous allons aborder
ici un chapitre fondamental aussi bien pour la compréhension du nombre d'Or, que
pour sa construction et ses propriétés. Ces énoncés et ces méthodes sont à la base de tous les développements dorés. Ils
permettent à ceux qui veulent aller plus loin, d'étudier de façon rigoureuse des scènes picturales, architecturales ou
topologiques en parfaite harmonie.
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Phidias
(490-430 av. J.-C.) - Sculpteur et mathématicien grec. Il participe à la construction du Parthénon
Platon
(427-347 av. J.-C.) - Les 5 solides qu'il décrit dans le Timée intègrent le nombre d'or
Euclide
(325-265 av. J.-C.) - Il est l'auteur d'une première définition
Léonardo
Fibonacci (1170-1250) - Il découvre la suite liée au nombre d'or
Luca
Pacioli (1445-1517) - C'est le premier théoricien qui aborde complètement le problème du nombre d'or
Johannes
Kepler (1571-1630) - L'astronome identifie dans ses travaux sur la section divine, le nombre d'or à un joyau, celui de
la géométrie
Charles
Bonnet (1720-1793) - Il met en évidence par l'étude des plantes et des fleurs la présence du nombre d'or et de
Fibonacci.
Martin Ohm
(1792-1872) - Premier scientifique a utiliser le terme de section dorée.
Edouard
Lucas (1842-1891) - Il complète les travaux de Fibonacci
Roger
Penrose (né en 1931) - Il met en évidence la présence du nombre d'or dans le monde minéral.
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la
Renaissance à nos jours
Au
19e siècle, Adolf Zeising (1810-1876), docteur en philosophie et
professeur à Leipzig puis à Munich, parle de "section d'or" (der goldene Schnitt) à propos d'esthétique et
d'architecture.
Au début du
20e siècle, Matila Ghyka, diplomate roumain, continuera les travaux de Zeising et du physicien allemand
Gustav Theodor Fechner et publiera "L'esthétique des proportions dans la nature et dans les arts (1927)" et "Le
Nombre d'or. Rites et rythmes pythagoriciens dans le développement de la civilisation occidentale (1931)".
1945 : Le Corbusier
fait breveter son Modulor qui donne un système de proportions entre les différentes parties du corps
humain.
Le
nombre d'or a suscité de nombreuses recherches, mais
plus tournées vers l'esthétique et la psychologie que vers les mathématiques. Des artistes peintres comme Sérusier, Paul
Valery, Cartier Bresson, Dali, Picasso et l'architecte Le Corbusier ont largement influencé notre
esthétique moderne. Sans le savoir, nous côtoyons un mode artificiel et naturellement doré. Comme Jourdain qui découvrait la
prose, nous redécouvrons aujourd'hui le nombre d'or, l'une des clés de la beauté de notre univers.
En
résumé...
Comme pour l'énigme de
Rennes, l'histoire du nombre d'or se perd dans la nuit des temps. On peut toutefois lister quelques célébrités qui ont fait
progresser nos connaissances dorées :
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Fra Luca Pacioli (1445-1517 à
Rome)
C'est pendant la Renaissance
qu'un moine franciscain, Fra Luca Pacioli, professeur de théologie sacrée, mathématicien, géomètre, publie un
ouvrage en 1409 qui deviendra une référence : "De divina Proportione". Ce livre rédigé en Toscan sera
illustré par Léonard de Vinci. Le nombre d'Or est pour la première fois détaillé sous tous ses aspects
mathématiques, géométriques, esthétiques et mystiques.
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Le Moyen Age du
XIe et du XIIe siècle est une période ou la pierre porte l'enseignement
religieux. 80 cathédrales furent construites en France ainsi que plusieurs centaines d'églises. L'art roman puis l'art gothique au
XIIe siècle viendront sublimer l'architecture en créant des voûtes de plus en plus hautes, des arcs et des
croisées qui défient la pesanteur. Ces édifices qui attirent des visiteurs du monde entier sont le résultat concret de la divine
proportion appliquée à l'harmonie et à l'équilibre. Ce savoir se transmettait de bouche à oreille, faisant la richesse du compagnonnage
et des bâtisseurs.
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Léonardo Fibonacci (1175-1280)
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La suite et la spirale d'or de Fibonacci
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1200 - Fibonacci
Il faut ensuite se projeter dans le
courant du moyen-âge pour retrouver une nouvelle avancée très importante. Et c'est un certain Léonard de Pise, dit
Fibonacci, qui la fera. Il naquit vers 1175 et fut certainement l'un des plus grands
mathématiciens du
moyen-âge.
Grand voyageur, homme d'affaire, il
profita de ses rencontres pour intégrer les sciences du Moyen-Orient. C'est à lui que nous devons l'introduction des chiffres arabes en
Occident et la numération décimale. Auteur du fameux traité, le Liber Abaci, il aborde des problèmes théoriques et pratiques qu'il
amène grâce à ses connaissances acquises en Algérie
où travaillait son père. Mais surtout, il présente une suite de nombre qui
le rendra célèbre : la suite de Fibonacci.
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Platon (v.427-347 avant J.-C.)
Platon naquit d'une famille noble d'Athènes et devint
surtout célèbre par ses écrits. Il fonda son académie (la première peut-être de l'histoire) et on y enseignait l'astronomie, la philosophie,
la biologie, les mathématiques... Dans l'un de ses écrits "Le Timée" Platon relate un dialogue entre Socrate, Timée et Critias. On peut alors
lire une histoire que Platon déclare détenir de son maître: le conflit entre des anciens Athéniens aux Atlantes, 9000 ans plus tôt... Cette
connaissance de l'Atlantide aurait été transmise par des prêtres égyptiens à Solon, ce dernier l'aurait communiqué à Dropide puis à l'arrière
grand-père de Cristias... Platon était-il l'héritier de cette connaissance atlante perdue ?
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Les 5 corps d'Euclide s'inscrivent dans
une sphère
Ils sont tous régis par le nombre d'or et
représentent l'harmonie parfaite
Au Moyen-âge, les savants, les hommes
d'Eglise, les bâtisseurs, les maîtres d’ouvrages ou les maîtres d’œuvre, se réclamant de la doctrine platonicienne des corps cosmiques, les
cinq polyèdres réguliers, ont fait du nombre d’or, "la divine proportion", un modèle de perfection esthétique et philosophique.
Chaque corps platonicien est associé à un
état de la matière :
Cube = Terre
Tétraèdre = Feu
Octaèdre = Air
Icosaèdre = Eau
Dodécaèdre = Cosmos
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- 300 av. J.-C. -
Euclide
Il fut le premier a mettre par écrit les
propriétés dorées. Pourtant d'autres mathématiciens ont côtoyé ce nombre mystérieux comme Pythagore ou
Thalès.
Mais Euclide fut le seul à le
définir clairement, à le décliner et à l'intégrer dans ses raisonnements et ses démonstrations.
Son ouvrage "Eléments" reste une
référence, même aujourd'hui.
Ses études, basées au départ sur le
triangle isocèle, amènent le pentagone régulier. Il termine par l'inscription dans une sphère des 5 corps réguliers platoniciens
: le tétraèdre, l'octaèdre, l'hexaèdre (le cube), l'icosaèdre et le dodécaèdre.
C'est aussi à son époque que le
compas devint l'outil privilégié du géomètre.
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Euclide d'Alexandrie
(325-265 av. J.-C.)
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-10 000 ans av. J.-C.
: Premières traces du nombre d'or sur le temple d'Andros découvert sous la mer des
Bahamas
-2800 av. J.-C. : Les égyptiens construisent la pyramide de Khéops, une architecture basée sur le
nombre d'or.
-447 à 432 av. J.-C.
: Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d'or pour décorer le Parthénon à
Athènes. Il sculpte aussi la statue d'Athéna Parthénos aux proportions dorées.
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Or il faut savoir que l'unité de base est
l'empan (distance entre le pouce et l'auriculaire) = 20 cm
Convertissons une
"coudée royale" en empan :
52,36 cm / 20 cm =
2,618 = φ2 = 1 +
φ
1 coudée royale
= 1+ φ
empans
L'Arche a donc 5 (φ+1) / 2 empans de long et
3 (φ+1) / 2 empans
de large
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" Vous ferez une arche de bois d'acacia qui ait deux coudées et demie de long, une coudée et demie de large,
et une coudée et demie de haut."
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Un peu d'histoire
La connaissance sur le nombre d'or a fortement progressé
depuis l'ancienne antiquité jusqu'à nos jours, mais nous n'avons pas d'idée précise sur l'époque exacte de sa découverte. Probablement elle date du moment où nos
ancêtres apprirent à tracer un cercle et à le diviser en tronçons égaux. La nature fut aussi très certainement une grande source d'inspiration. En effet, la
division par 5 ou par 10 d'un cercle aboutie irrémédiablement à de nombreuses formes pentagonales ou décagonales, faisant
apparaitre le nombre d'or. Les premiers textes scientifiques sont malgré tout grecs, même si des figures où se cache le nombre d'or sont visibles dès l'ancienne
Egypte.
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Comment démontre-t-on la valeur de φ ?
elon les rapports de la section dorée, si AC = a et CB = b on peut
écrire a / b = (a + b ) /
or par définition φ = a / bconduit à la résolution de l'équation du second degr : φ2 - φ - 1 = 0
La solution positive est le nombre
d'or φ = (1 +
Ö5) / 2
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φ est un nombre
irrationnel (nombre ne pouvant s'exprimer sous la forme d'un rapport de 2 entiers) et nous verrons qu'il possède des propriétés étonnantes qui ont subjugué les plus
grands artistes et mathématiciens de tous les temps. Une première conséquence sur la section dorée AB et ses rapports est que si AB =
1 alors :
AC =
1/φ = φ - 1
et CB = 1/φ2
Or puisque AC + AB = 1 nous
avons deux autres relations fondamentales : ajouter 1 à φ et on obtient son carré. D'autre part ajouter 1 à son inverse et vous
obtenez lui-même. En clair :
1 + φ = φ2 et 1 +
1/φ = φ
Cette division dite esthétique s'appelle
également, rapport doré, section dorée ou d'or, proportion d'or, divine proportion, ou très poétiquement, le juste milieu...
Euclide l'appelait partage en
extrême et moyenne raison, a + b étant la majeure, a la moyenne et b la mineure. Cette proportion est dite aussi
"économique" car elle ne comporte que 2 termes a et b.
φ = 1,618
03398874989484820458683...
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Cette belle formule se traduit par la division en C d'un segment
AB tel que :
Le résultat de ces rapports n'est autre que le
nombre d'Or φ
On a donc : AB / AC = AC / CB = φ
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La section dorée, un juste milieu
entre A et B
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On dit d'une droite qu'elle est partagée entre extrême et moyenne raison lorsque le rapport
de la ligne entière à son segment le plus grand est égal au rapport de ce plus grand segment au plus petit.
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